小升初奥数工程问题思路解析

   工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的应用题。工程问题是小升初奥数一个重要的分类，下面小编就为大家整理工程问题的基本思路

　　工程问题的基本数量关系是：

　　工作效率×工作时间=工作总量

　　工作总量÷工作时间=工作效率

　　工作总量÷工作效率=工作时间

　　上面这些数量关系式是在题目中给出（或间接给出）工作总量和工作效率的具体数量情况下进行解题用的。

　　如果题目中没有给出工作总量的具体数量，也没有给出工作效率的具体数量，那么我们通常把工作总量看作整体“1”，工作效率表示单位时间内完成工作量的几分之几。

　　例1：完成一件工作，需要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天，乙干2天。问：甲、乙单独干这件工作各需多少天？

　　分析与解答：

　　分析：先对比如下

　　一项工作甲干5天、乙干6天，或甲干7天、乙干2天，显而易见甲干2天的工作量，若换成乙干，则需要4天。因此，甲干1天的工作量，若换成乙来干，则需要2天。

　　解答：甲完成这件工作需要的天数：

　　5＋6÷2=8（天）

　　乙完成这件工作需要的天数：

　　5×2＋6=16（天）

　　评注：我们在解难题无从下手时，不妨把题目所交代的条件罗列下来，认真地观察、比较，有时会柳暗花明的。本题运用了整体代换的数学思想，使题目的解答巧妙、简练，更具创造性。

　　例2：一件工程，甲队单独做12天可以完成，甲队做3天后乙队做2天半可完成一半。现在甲、乙两队合做若干天后，由乙队单独完成，做完后发现两段所用时间相等。问：共用多少天？

　　分析与解答：

　　分析：甲队的工作效率的1/12，乙队的工作效率是1/8，甲、乙两队的工作效率和是1/8＋1/12=5/24。由于甲、乙两队合做的时间与乙队单独做的时间相同，所以甲、乙两队合做的工作量与乙队独做的工作量之比是：

　　（1/8＋1/12）：1/8=5：3。

　　解答：乙队的工作效率：（1/2－1/12×3）÷2=1/8

　　甲、乙两队合做工作量是这件工程的5/8，乙队单独做的工作量是这件工程的3/8。

　　完成这件工程的总天数：

　　3/8÷1/8×2=6（天）

　　说明：适时、恰当地运用正、反比例概念，会使问题简单化。

　　例3：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个。完成任务时，徒弟比师傅少加工120个。这批零件共有多少个？

　　分析与解答：

　　分析：徒弟每小时比师傅少加工4个零件，徒弟比师傅少加工120个零件需要120÷4=30小时，那么这批零件的总个数是（9＋5）×30=420个。

　　例4：一件工程，甲、乙合做需6天完成，乙、丙合做需9天完成，甲、丙合做需15天完成。现在甲、乙、丙三人合做，需多少天完成？

　　分析：由已知条件可知，甲、乙的工作效率和是1/6，乙、丙的工作效率和是1/9，甲、丙的工作效率和是1/15，1/6＋1/9＋1/15=31/90，这是甲、乙、丙三人工作效率和的2倍，甲、乙、丙三人的工作效率和是31/90÷2=31/180，那么甲、乙、丙三人合做需要的天数是1÷31/180=180/31天。

　　例5：一件工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成。如果先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，再由甲接替乙工作1小时……两人如此交替工作，那么完成任务用了多少小时？

　　分析：由已知条件可知甲的工作效率是1/12，乙的工作效率是1/18。先由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作1小时，看作是甲、乙合做1小时。可得甲、乙合作完成任务需要的时间是1÷（1/12＋1/18）=36/5小时，实际上可以理解为甲工作了7小时，乙工作了7小时，剩下的1/36的工作由甲再单独完成。

　　例6：甲、乙、丙三队要完成A、B两项工程，B工程的工作量比A工程的工作量多1/4，甲、乙、丙三队单独完成A工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了同时完成这两项工程，先派甲做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A，结果A、B两项工程同时完成。问：丙队与乙队合作了多少天？

　　分析：令A工作总量为1，则B工程的工作总量是5/4，A、B两项工程的工作总量是9/4，则甲、乙、丙三队完成A、B两项工程的时间就可以求出，是9/4÷（1/20＋1/24＋1/30）=18天。乙队干18天的工作量为1/24×18=3/4，剩下的5/4－3/4=1/2就是丙做的：1/2÷1/30=15天。

　　说明：正确地区分整体与部分的关系，会使我们准确、全面地把握问题，本题就是把A、B两项工程看作一个整体来思考，不要把A、B两项工程分开。

　　例7：一水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，当甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟的注水量是甲管每分钟注水量的2倍，则该水箱最多可容纳多少吨水？

　　分析：不妨设这个水箱能装X吨水，当甲管注入18吨水时，丙管注入（X－18）吨水；当乙管注入27吨水时，丙管注入（X－27）吨水。

　　甲、丙两管的工作效率比是18：（X－18），乙、丙两管的工作效率比是27：（X－27）。

　　又因为乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，所以甲、丙两管的工作效率比是（27×1/2）：（X－27）。列方程：

　　18：（X－18）=（27×1/2）：（X－27）

　　X=54

　　说明：解答工程问题时，方程更是我们的好帮手，尤其是运用等比作等量关系式时更为奇妙！

　　例8：某工厂的一个生产小组，生产一批零件，当每个工人在自己原岗位工作时，9小时可完成这项生产任务。如果交换工人A和B的工作岗位，其他工人生产效率不变时，可提前1小时完成这项生产任务；如果交换C和D的工作岗位，其他工人生产效率不变时，也可以提前1小时完成这项生产任务。

　　问：如果同时交换A与B、C与D的工作岗位，其他工人生产效率不变，可以提前几分钟完成这项生产任务？

　　分析：本题已知几种情况，都是工作效率在变化，因此可以求出各种情况的工作效率，然后再研究时间的变化。

　　解答：设工作总量为1，则原来全组每小时完成1/9。

　　（1）A与B交换，全组工作效率是每小时完成1/8，由于其他工人的工作效率不变，所以A与B多干了1/8－1/9=1/72；

　　（2）同理，C与D交换后，他们两人每小时也多干了1/72；

　　（3）A与B、C与D同时交换，他们四人每小时多干了2/72，全组平均每小时完成了1/9＋2/72=5/36。

　　因此，交换后全组完成这项任务需要：1÷5/36=7.2小时，比原来提前了：

　　9－7.2=1.8小时=108分钟。

　　说明：做题时要通过现象看本质。