无锡希望杯备战每日一练：抽屉原理

来源：无锡奥数网整理 2013-01-08 17:36:14

摘要：2012年无锡希望杯开始正式报名了，下面给大家找来系统练习题，整体复习一下吧。

　　无锡奥数网1月8日讯：2013年无锡希望杯开始正式报名，无锡奥数网小编为大家找来学而思老师关于希望杯整体化的练习题，系统化的准备一下吧。

无锡希望杯备战每日一练：抽屉原理

　　桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。

　　抽屉原理有时也被称为鸽巢原理(“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”)。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。

　　一、抽屉原理最常见的形式

　　原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

　　简单证明：(反证法)如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.

　　原理2把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

　　简单证明：(反证法)若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.

　　二、抽屉原理的拓展

　　在基本抽屉原理的基础上还有很多抽屉原理的拓展形式，也称为第二抽屉原理。具体表述如下：

　　把(mn-1)个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。

　　简单证明：(反证法)：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。

　　三、抽屉原理的应用

　　抽屉原理理解起来非常简单，易于接受，同时在数学问题中有着非常重要的作用，经常被用在关于存在性的证明中。

　　例：证明13个人中至少有2人在同一个月过生日。

　　将一年的12个月当做12个抽屉，13个人看做13个物品，根据抽屉原理，13个物品放到12个抽屉里，至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物品，即可证明至少有2个人在同一个月过生日。

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